线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间、线性变换和有限维的线性方程组。目前，线性代数在各种代数分支中占居首要地位，而且在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用。认真观看外唐网提供的这部燕山大学-线性代数B-同济大学第六版（孙红霞老师讲）线性代数教程大家可以全掌握线性代数知识。

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。

现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为n的向量空间叫做n维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象n维空间中的向量，这样的向量(即n元组)用来表示数据非常有效。由于作为n元组，向量是n个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用8维向量来表示8个国家的国民生产总值(GNP)。当所有国家的顺序排定之后，比如(中国，美国，英国，法国，德国，西班牙，印度，澳大利亚)，可以使用向量(v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8)显示这些国家某一年各自的GNP。这里，每个国家的GNP都在各自的位置上。

作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间(线性空间)属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。

线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。

向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间(也可以是同一个线性空间)，保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究(包括行列式和特征向量)也被认为是线性代数的一部分。